曲率计算——公式以及意义

曲率（Curvature）是描述曲线弯曲程度的量。在数学中，曲率的定义和公式取决于曲线的表示形式（参数方程、显式方程或隐式方程）。以下是常见的曲率公式及其推导。

1. 参数方程的曲率公式

如果曲线由参数方程表示：

r(t)=(x(t),y(t))

\mathbf{r}(t) = (x(t), y(t))

r(t)=(x(t),y(t))

则曲率(κ\kappaκ)的公式为：

κ=∣x′(t)y′′(t)−y′(t)x′′(t)∣(x′(t)2+y′(t)2)3/2

\kappa = \frac{|x'(t) y''(t) - y'(t) x''(t)|}{\left( x'(t)^2 + y'(t)^2 \right)^{3/2}}

κ=(x′(t)2+y′(t)2)3/2∣x′(t)y′′(t)−y′(t)x′′(t)∣​

推导：

一阶导数：r′(t)=(x′(t),y′(t))\mathbf{r}'(t) = (x'(t), y'(t))r′(t)=(x′(t),y′(t))二阶导数：r′′(t)=(x′′(t),y′′(t))\mathbf{r}''(t) = (x''(t), y''(t))r′′(t)=(x′′(t),y′′(t))曲率公式由切向量和法向量的叉积除以切向量模长的立方得到。

2. 显式方程的曲率公式

如果曲线由显式方程表示：

y=f(x)

y = f(x)

y=f(x)

则曲率 ( \kappa ) 的公式为：

κ=∣f′′(x)∣(1+f′(x)2)3/2

\kappa = \frac{|f''(x)|}{\left( 1 + f'(x)^2 \right)^{3/2}}

κ=(1+f′(x)2)3/2∣f′′(x)∣​

推导：

一阶导数：f′(x)f'(x)f′(x)二阶导数：f′′(x)f''(x)f′′(x)曲率公式由二阶导数除以切向量模长的立方得到。

3. 隐式方程的曲率公式

如果曲线由隐式方程表示：

F(x,y)=0

F(x, y) = 0

F(x,y)=0

则曲率 (κ\kappaκ) 的公式为：

κ=∣FxxFy2−2FxyFxFy+FyyFx2∣(Fx2+Fy2)3/2

\kappa = \frac{|F_{xx} F_y^2 - 2 F_{xy} F_x F_y + F_{yy} F_x^2|}{\left( F_x^2 + F_y^2 \right)^{3/2}}

κ=(Fx2​+Fy2​)3/2∣Fxx​Fy2​−2Fxy​Fx​Fy​+Fyy​Fx2​∣​

推导：

( FxF_xFx​ ) 和 ( FyF_yFy​ ) 是 ( FFF ) 对 ( xxx ) 和 ( yyy ) 的一阶偏导数。( FxxF_{xx}Fxx​ )、( FxyF_{xy}Fxy​ )、( FyyF_{yy}Fyy​ ) 是 ( FFF ) 的二阶偏导数。

4. 极坐标方程的曲率公式

如果曲线由极坐标方程表示：

r=r(θ)

r = r(\theta)

r=r(θ)

则曲率 ( κ\kappaκ ) 的公式为：

κ=∣r2+2r′2−rr′′∣(r2+r′2)3/2

\kappa = \frac{|r^2 + 2 r'^2 - r r''|}{\left( r^2 + r'^2 \right)^{3/2}}

κ=(r2+r′2)3/2∣r2+2r′2−rr′′∣​

推导：

( r′r'r′ ) 是 ( rrr ) 对 ( θ\thetaθ ) 的一阶导数。( r′′r''r′′ ) 是 ( rrr ) 对 ( θ\thetaθ ) 的二阶导数。

5. 三维空间曲线的曲率公式

如果曲线由参数方程表示：

r(t)=(x(t),y(t),z(t))

\mathbf{r}(t) = (x(t), y(t), z(t))

r(t)=(x(t),y(t),z(t))

则曲率 ( κ\kappaκ ) 的公式为：

κ=∥r′(t)×r′′(t)∥∥r′(t)∥3

\kappa = \frac{\|\mathbf{r}'(t) \times \mathbf{r}''(t)\|}{\|\mathbf{r}'(t)\|^3}

κ=∥r′(t)∥3∥r′(t)×r′′(t)∥​

推导：

( r′(t)\mathbf{r}'(t)r′(t) ) 是切向量。( r′′(t)\mathbf{r}''(t)r′′(t) ) 是二阶导数。曲率公式由切向量和二阶导数的叉积除以切向量模长的立方得到。

6. 曲率的几何意义

曲率 ($ \kappa$ ) 表示曲线的弯曲程度。曲率越大，曲线弯曲越剧烈。曲率为 0 时，曲线是直线。

示例

示例 1：圆的曲率

圆的参数方程为：

r(t)=(Rcos⁡t,Rsin⁡t)

\mathbf{r}(t) = (R \cos t, R \sin t)

r(t)=(Rcost,Rsint)

计算曲率：

r′(t)=(−Rsin⁡t,Rcos⁡t)

\mathbf{r}'(t) = (-R \sin t, R \cos t)

r′(t)=(−Rsint,Rcost)

r′′(t)=(−Rcos⁡t,−Rsin⁡t)

\mathbf{r}''(t) = (-R \cos t, -R \sin t)

r′′(t)=(−Rcost,−Rsint)

κ=∣(−Rsin⁡t)(−Rsin⁡t)−(Rcos⁡t)(−Rcos⁡t)∣((−Rsin⁡t)2+(Rcos⁡t)2)3/2=R2R3=1R

\kappa = \frac{|(-R \sin t)(-R \sin t) - (R \cos t)(-R \cos t)|}{\left( (-R \sin t)^2 + (R \cos t)^2 \right)^{3/2}} = \frac{R^2}{R^3} = \frac{1}{R}

κ=((−Rsint)2+(Rcost)2)3/2∣(−Rsint)(−Rsint)−(Rcost)(−Rcost)∣​=R3R2​=R1​

圆的曲率为半径的倒数。

示例 2：抛物线的曲率

抛物线的显式方程为：

y=x2

y = x^2

y=x2

计算曲率：

f′(x)=2x

f'(x) = 2x

f′(x)=2x

f′′(x)=2

f''(x) = 2

f′′(x)=2

κ=∣2∣(1+(2x)2)3/2=2(1+4x2)3/2

\kappa = \frac{|2|}{\left( 1 + (2x)^2 \right)^{3/2}} = \frac{2}{\left( 1 + 4x^2 \right)^{3/2}}

κ=(1+(2x)2)3/2∣2∣​=(1+4x2)3/22​

总结

曲率公式根据曲线的表示形式不同而不同。常见的曲率公式包括参数方程、显式方程、隐式方程和极坐标方程。曲率的几何意义是描述曲线的弯曲程度。